贪心 贪心算法
教程导读
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教程信息
一、贪心算法的概念
贪心算法(Greedy Algorithm)是一种常用的算法思想,用于在每个阶段做出局部最优选择,以期望最终能够获得全局最优解。
在每个决策点上,贪心算法都会选择当前看起来最佳的选项
,而不考虑该选择对未来的影响
。
贪心算法的基本思想是通过一系列局部决策
来构建问题的解决方案,每次决策都基于当前的最佳选择
,而不考虑未来的决策可能会如何改变局部选择的可行性。贪心算法通常适用于具有贪心选择性质的问题,即通过每次选择局部最优解来达到全局最优解。
贪心算法的优点是简单易实现,且在某些问题上能够快速找到最优解。
然而,贪心算法并不能保证对所有问题都能得到全局最优解,因为它通常没有考虑到未来决策的可能影响。因此,在某些情况下,贪心算法可能会产生次优解或者根本无法找到可行解。
贪心算法 举例
实际最优 举例
二、贪心算法的特征
1、最优化原理(最优子结构性质)
首先贪心问题处理的是最优问题,即求最值、最优方案数、最优方案内容的问题。同时,这一最优问题必须满足条件:问题的最优解包含了子问题的最优解。如果一个最优问题满足这一条件,我们称该问题具有最优子结构。
2、贪心选择性质
所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择,即贪心选择来达到。
贪心算法则通常以自顶向下的方式进行,每作一次贪心选择就将所求问题简化为规模更小的子问题。
贪心选择性质通常需要进行证明,常用的证明方法包括:
(1)反证法
假设所选方案非贪心算法所要求的方案,只需要证明将需要贪心的方案替换掉所选方案,结果会更好(至少不会更差)。
反证法(Proof by Contradiction) 通过假设待证命题的否定,然后推导出矛盾的方法来证明命题的真实性。 反证法的关键在于假设的否定导致了矛盾,从而推出原命题的真实性。 它常用于证明一些存在性问题,或者证明某些性质是唯一的。 基本步骤如下: ①假设待证命题的否定是正确的。 ②在这个假设下,推导出矛盾的结论。 ③由于假设导致了矛盾,所以原命题的否定是错误的,即原命题是正确的。
(2)数学归纳法
每一步的选择都是到当前为止的最优解,一直到最后一步就成为了全局的最优解。
数学归纳法(Mathematical Induction) 一种证明数学命题的方法,特别适用于证明涉及自然数的性质。 数学归纳法的思想是通过证明基础步骤的成立和归纳步骤的正确性,逐步扩展命题的范围,从而得出所有自然数都满足该命题的结论。 它基于两个关键步骤: ①基础步骤(Base Case):证明命题在某个初始情况下成立(通常是对最小的自然数)。 ②归纳步骤(Inductive Step):假设命题在某个自然数 n 成立,然后证明在 n+1 的情况下也成立。
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教程总结
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